如图，直角△ABC中，∠BAC=90°，D在BC上，连接AD，作BF⊥AD分别交AD于E，AC于F．（1）如图1，若BD=BA，求证：△ABE≌△DBE；（2）如图2，若BD=4DC，取AB的中点G，连接CG交AD于M，求证：①GM=2MC；②AG2

Question

如图，直角△ABC中，∠BAC=90°，D在BC上，连接AD，作BF⊥AD分别交AD于E，AC于F．
（1）如图1，若BD=BA，求证：△ABE≌△DBE；
（2）如图2，若BD=4DC，取AB的中点G，连接CG交AD于M，求证：①GM=2MC；②AG²=AF•AC．

Answer 1

证明：（1）在Rt△ABE和Rt△DBE中，

BA=BD

BE=BE

，
∴△ABE≌△DBE；
（2）①过G作GH∥AD交BC于H，
∵AG=BG，
∴BH=DH，
∵BD=4DC，
设DC=1，BD=4，
∴BH=DH=2，
∵GH∥AD，
∴(GM)/(MC)=(HD)/(DC)=(2)/(1)，
∴GM=2MC；
②过C作CN⊥AD交AD的延长线于N，则CN∥AG，
∴△AGM∽△NCM，
∴(AG)/(NC)=(GM)/(MC)，
由①知GM=2MC，
∴2NC=AG，
∵∠BAC=∠AEB=90°，
∴∠ABF=∠CAN=90°-∠BAE，
∴△ACN∽△BFA，
∴(AF)/(CN)=(AB)/(AC)，
∵AB=AG，
∴(AF)/(CN)=(2AG)/(AC)，
∴2CN•AG=AF•AC，
∴AG²=AF•AC．