设f(x),g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f'(x)=g'(x),x属于(a,b)证明存在常...设f(x),g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f'(x)=g'(x),x属于(a,b)证明存在常数C,使得f(x)=g(x)+c,x属于(a,b)

Question

设f(x),g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f'(x)=g'(x),x属于(a,b)证明存在常...
设f(x),g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f'(x)=g'(x),x属于(a,b)证明存在常数C,使得f(x)=g(x)+c,x属于(a,b)

Answer 1

设h(x)=f(x)-g(x),下面证h(x)=C常数即可.
h'(x)=f '(x)-g'(x)=0
任取不相等的两数x1,x2∈(a,b),由拉格朗日中值定理,存在ξ在x1与x2之间,使
h(x1)-h(x2)=h'(ξ)(x1-x2)=0
因此h(x1)=h(x2),由x1,x2的任意性,h(x)为常数.