已知1/3小于等于a小于等于1,若f(x)=ax^2-2x+1在区间[1,3]上的最大值为M(a),最小值N(a),令g(a)=M(a)-N(a)(1)求g(a)的解析式（2）讨论g(a)的单调性（3）求证：当1/3小于等于a小于等于1时,g(x)大于等于1、2恒

Question

已知1/3小于等于a小于等于1,若f(x)=ax^2-2x+1在区间[1,3]上的最大值为M(a),最小值N(a),令g(a)=M(a)-N(a)
(1) 求g(a)的解析式
（2）讨论g(a)的单调性
（3）求证：当1/3小于等于a小于等于1时,g(x)大于等于1、2恒成立.
（3）求证：当1/3小于等于a小于等于1时,g(x)大于等于1/2恒成立。

Answer 1

1.f(x)函数的对称轴X=1/a,已知1/3《a《1,故对称轴1《X《3,图像开口向上,对称轴处取最小值N(a),将X=1/a带入函数中,最小值N(a)=1-1/a
当1《1/a《2时（函数单调递减）,X=3时取最大值为M(a)=9a-5,当2《1/a《3时（函数单调递增）,X=1时最大值为M(a)=a-1
综上所述,当1《1/a《2时,g(a)=9a+1/a-6；当2《1/a《3时,g(a)=a+1/a-2（自己用大括号）
2.当1《1/a《2时,g(a)=9a+1/a-6；（利用单调性定义）设1《1/a1《1/a2《2,g(a1)-g(a2)=（a2-a1）（1-9a1a2）/a1a2小于0,故g(a)在a在1《1/a《2是增函数；
当2《1/a《3时,g(a)=a+1/a-2；（利用单调性定义）设2《1/a1《1/a2《3,g(a1)-g(a2)=（a2-a1）（1-a1a2）/a1a2大于0,故g(a)在a在2《1/a《3是减函数.
3.（即求函数g(x)的在a的两个范围内的最大值）当1《1/a《2时,g(1/2)=1/2； 当2《1/a《3时,当1《1/a《2时,g(1/2)=-6