如图，△ABC是直角边长为a的等腰直角三角形，直角边AB是半圆O1的直径，半圆O2过C点且与半圆O1相切，则图中阴影部分的面积是．

Question

如图，△ABC是直角边长为a的等腰直角三角形，直角边AB是半圆O₁的直径，半圆O₂过C点且与半圆O₁相切，则图中阴影部分的面积是______．

Answer 1

连接O₁E，O₂D，O₁O₂．
设半圆O₂的半径是x，根据勾股定理，得
((a)/(2))2+(a−x)2＝((a)/(2)+x)2，
解得：x=(a)/(3)．
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B=∠C=45°．
∴∠O₂DC=∠C=45°，∠O₁EB=∠B=45°．
∴∠CO₂D=∠EO₁B=90°．
∴阴影部分的面积=直角三角形ABC的面积-2（直角三角形CO₂D的面积+直角三角形BO₁E的面积）
=(1)/(2)a2-2（(1)/(2)×(a2)/(9)+(1)/(2)×(a2)/(4)）=(5)/(36)a2．