椭圆x2/a2椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1（a>b>0）的左右焦点分别为F1、F2,过F1的直线l与椭圆交于A、B两点1.如果点A在x^2+y^2=c圆上（c为椭圆半焦距）,且绝对值F1A=c求椭圆离心率2.若函数y=根号2+logmX（m>0,且m≠

Question

椭圆x2/a2
椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1（a>b>0）的左右焦点分别为F1、F2,过F1的直线l与椭圆交于A、B两点1.如果点A在x^2+y^2=c圆上（c为椭圆半焦距）,且绝对值F1A=c求椭圆离心率2.若函数y=根号2+logmX（m>0,且m≠1）的图像,无论m为何值时恒过定点（b,a）,求向量F2A*向量F2B的取值范围

Answer 1

(1) ∵点A在圆x＋y＝c上 ∴△AF1F2为一直角三角形 ∵|F1A|＝c,|F1F2|＝2c ∴|F2A|＝√(|F1F1|－|F1A|)＝√3c 由椭圆的定义知：|AF1|＋|AF2|＝2a c＋√3c＝2a ∴e＝c/a＝2/(1＋√3)＝√3－1 (2) ∵函数y＝√2＋logm(x)的图像恒过点(1,√2) ∴a＝√2,b＝1,c＝1 点F1(－1,0),F2(1,0) ①若AB⊥x轴,则A(－1,√2/2),B(－1,－√2/2) ∴向量F2A＝(－2,√2/2),向量F2B＝(－2,－√2/2),向量F2A向量F2B＝4－1/2＝7/2 ②若AB与x轴不垂直,设直线AB的斜率为k,则AB的方程为y＝k(x＋1) 由 {y＝k(x＋1) {x＋2y－2＝0 消去y得(1＋2k)x＋4kx＋2(k－1)＝0 (*) ∵Δ＝8k＋8＞0 ∴方程(*)有两个不同的实根 设点A(x1,y1),B(x2,y2) 则x1,x2是方程(*)的两个根 x1＋x2＝－4k/(1＋2k) x1x2＝2(k－1)/(1＋2k) 向量F2A＝(x1－1,y1),向量F2B＝(x2－1,y2),向量F2A向量F2B＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝(1＋k)x1x2＋(k－1)(x1＋x2)＋1＋k ＝(1＋k)[2(k－1)/(1＋2k)]＋(k－1)[－4k/(1＋2k)]＋1＋k ＝(7k－1)/(1＋2k)＝7/2－[9/2(1＋2k)] ∵1＋2k≥1 ∴0＜1/(1＋2k)≤1,0＜9/[2(1＋2k)]≤9/2 －1≤向量F2A向量F2B＝7/2－[9/2(1＋2k)]＜7/2 由①②知：－1≤向量F2A向量F2B＜7/2