设X1，X2，…，X9是来自正态总体X的简单随机样本，Y1=16（X1+…+X6），Y2=13（X7+X8+X9），S2=129i＝7（Xi-Y2）2，Z=2(Y1−Y2)S，则统计量Z服从．

Question

设X₁，X₂，…，X₉是来自正态总体X的简单随机样本，Y₁=(1)/(6)（X₁+…+X₆），Y₂=(1)/(3)（X₇+X₈+X₉），S²=(1)/(2)

9

i＝7

（X_i-Y₂）²，Z=(√(2)(Y1−Y2))/(S)，则统计量Z服从______．

Answer 1

设正态总体X～N（μ，σ²），
则由数学期望与方差的性质可得，
E（Y₁）=(1)/(6)

6

i＝1

E(Xi)=μ，D（Y₁）=(1)/(62)

6

i＝1

D(Xi)=(σ2)/(6)，
E（Y₂）=(1)/(3)

9

i＝7

E(Xi)=μ，D（Y₂）=(1)/(32)

9

i＝7

D(Xi)=(σ2)/(3)，
从而，
E（Y₁-Y₂）=E（Y₁）-E（Y₂）=0，
D（Y₁-Y₂）=D（Y₁）+D（Y₂）=(σ2)/(2)．
由正态分布的性质可得，Y₁、Y₂与Y₁-Y₂仍服从正态分布，
故Y₁-Y₂～N(0，(σ2)/(2))，
(Y1−Y2)/((σ)/(√(2)))～N（0，1），
(2S2)/(σ2)=

9

i＝7

((Xi−Y2)2)/(σ2)～χ²（2）．
从而，由t分布的定义可得，