错位相减法的化简问题(1-x)Sn=1+2x[1+x+x^2+x^3+…+x^(n-2)]-(2n-1)*x^n；化简得Sn=(2n-1)*x^(n+1)-(2n+1)*x^n+(1+x)/(1-x)^2上面的式子要怎样化简成下面的式子,有再具体一点的步骤吗

Question

错位相减法的化简问题
(1-x)Sn=1+2x[1+x+x^2+x^3+…+x^(n-2)]-(2n-1)*x^n；
化简得Sn=(2n-1)*x^(n+1)-(2n+1)*x^n+(1+x)/(1-x)^2
上面的式子要怎样化简成下面的式子,有再具体一点的步骤吗

Answer 1

令等式右边的[1+x+x^2+x^3+…+x^(n-2)] = A
有xA = [ x+x^2+x^3+…+x^(n-2)+x^(n-1)]
xA-A=x^(n-1)-1
所以A=(x^(n-1)-1)/(x-1)
所以等式右边等于1+2x[(x^(n-1)-1)/(x-1)]-(2n-1)*x^n
通分合并同类项得到[(2n-1)*x^(n+1)-(2n+1)*x^n+(1+x)]/(1-x)
所以Sn = [(2n-1)*x^(n+1)-(2n+1)*x^n+(1+x)]/(1-x)^2