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已知函数g（x）=x2-（2a+1）x+alnx（Ⅰ）当a=1时，求函数g（x）的单调增区间；（Ⅱ）求函数g（x）在区间[1，e]上的最小值；（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，设f（x）=g（x）+4x-x2-2lnx，证明：nk＝21k

题目详情

已知函数g（x）=x²-（2a+1）x+alnx
（Ⅰ）当a=1时，求函数g（x）的单调增区间；
（Ⅱ）求函数g（x）在区间[1，e]上的最小值；
（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，设f（x）=g（x）+4x-x²-2lnx，
证明：

k＝2

k−f(k)

＞

3n2−n−2

n(n+1)

（n≥2）．（参考数据：ln2≈0.6931）

▼优质解答

答案和解析

（Ⅰ）当a=1时，g（x）=x²-3x+lnx，
∴g′(x)＝

2x2−3x+1

＞0，
解得x＞1或x＜

．
∴函数f（x）的单调增区间为（0，

），（1，+∞）．
（Ⅱ）g（x）=x²-（2a+1）x+alnx，
g′(x)＝2x−(2a+1)+

2x2−(2a+1)x+a

(2x−1)(x−a)

=0，
当a≤1，x∈[1，e]，g′（x）＞0，g（x）单调增．g（x）_min=-2a，
当1＜a＜e，x∈（1，a），g′（x）＜0，g（x）单调减．
x∈（a，e），g′（x）＞0，g（x）单调增．
g（x）_min=g（a）=-a²-a+alna，
当a≥e，x∈[1，e]，g′（x）≤0，g（x）单调减，
g（x）_min=e²-（2a+1）e+a．
∴g（x）_min=

−2a，a≤1

−a2−a+alna，1＜a＜e

e2−(2a+1)e+a，a≥e

．
（Ⅲ）证明：令h（x）=lnx-

(x2−1)，
∵x∈[2，+∞），h′(x)＝

2−x2

＜0，
∴h(x)≤h(2)＝ln2−

＜0，即lnx＜

(x2−1)，
∴

lnx

＞

(x−1)(x+1)

=2（

x−1

−

x+1

），
k-f（k）=lnk，

k＝2

k−f(k)