已知函数g（x）=x2-（2a+1）x+alnx（Ⅰ）当a=1时，求函数g（x）的单调增区间；（Ⅱ）求函数g（x）在区间[1，e]上的最小值；（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，设f（x）=g（x）+4x-x2-2lnx，证明：nk＝21k

Question

已知函数g（x）=x²-（2a+1）x+alnx
（Ⅰ） 当a=1时，求函数g（x）的单调增区间；
（Ⅱ） 求函数g（x）在区间[1，e]上的最小值；
（Ⅲ） 在（Ⅰ）的条件下，设f（x）=g（x）+4x-x²-2lnx，
证明：

n

k＝2

(1)/(k−f(k))＞(3n2−n−2)/(n(n+1))（n≥2）．（参考数据：ln2≈0.6931）

Answer 1

（Ⅰ）当a=1时，g（x）=x²-3x+lnx，
∴g′(x)＝(2x2−3x+1)/(x)＞0，
解得x＞1或x＜(1)/(2)．
∴函数f（x）的单调增区间为（0，(1)/(2)），（1，+∞）．
（Ⅱ）g（x）=x²-（2a+1）x+alnx，
g′(x)＝2x−(2a+1)+(a)/(x)
=(2x2−(2a+1)x+a)/(x)
=((2x−1)(x−a))/(x)=0，
当a≤1，x∈[1，e]，g′（x）＞0，g（x）单调增．g（x）_min=-2a，
当1＜a＜e，x∈（1，a），g′（x）＜0，g（x）单调减．
x∈（a，e），g′（x）＞0，g（x）单调增．
g（x）_min=g（a）=-a²-a+alna，
当a≥e，x∈[1，e]，g′（x）≤0，g（x）单调减，
g（x）_min=e²-（2a+1）e+a．
∴g（x）_min=

−2a，a≤1

−a2−a+alna，1＜a＜e

e2−(2a+1)e+a，a≥e

．
（Ⅲ）证明：令h（x）=lnx-(1)/(4)(x2−1)，
∵x∈[2，+∞），h′(x)＝(2−x2)/(2x)＜0，
∴h(x)≤h(2)＝ln2−(3)/(4)＜0，即lnx＜(1)/(4)(x2−1)，
∴(1)/(lnx)＞(4)/((x−1)(x+1))=2（(1)/(x−1)−(1)/(x+1)），
k-f（k）=lnk，

n

k＝2

(1)/(k−f(k))=

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