设函数f（x）=x2+2ax-a-1，x∈[0，2]，a为常数．（1）求f（x）的最小值g（a）的解析式；（2）在（1）中，是否存在最小的整数m，使得g（a）-m≤0对于任意a∈R均成立，若存在，求出m的值；若不

Question

设函数f（x）=x²+2ax-a-1，x∈[0，2]，a为常数．
（1）求f（x）的最小值g（a）的解析式；
（2）在（1）中，是否存在最小的整数m，使得g（a）-m≤0对于任意a∈R均成立，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）对称轴x=-a
①当-a≤0⇒a≥0时，
f（x）在[0，2]上是增函数，x=0时有最小值f（0）=-a-1…（1分）
②当-a≥2⇒a≤-2时，
f（x）在[0，2]上是减函数，x=2时有最小值f（2）=3a+3…（1分）
③当0＜-a＜2⇒-2＜a＜0时，
f（x）在[0，2]上是不单调，x=-a时有最小值f（-a）=-a²-a-1…（2分）
∴，g(a)＝

−a−1

−a2−a

3a+3

	a≥0
−1	−2＜a＜0 a≤−2

…（2分）
（2）存在，
由题知g（a）在(−∞，−(1)/(2)]是增函数，在[−(1)/(2)，+∞)是减函数
∴a＝−(1)/(2)时，g(a)max＝−(3)/(4)，…（2分）
g（a）-m≤0恒成立
⇒g（a）_max≤m，
∴m≥−(3)/(4)…（2分），
∵m为整数，
∴m的最小值为0…（1分）