设函数f(x)＝lnx－ax，g(x)＝ex－ax，其中a为实数．(1)若f(x)在(1，＋∞)上是单调减函数，且g(x)在(1，＋∞)上有最小值，求a的取值范围；(2)若g(x)在(－1，＋∞)上是单调增函数，试求f(x)的零

Question

设函数f(x)＝lnx－ax，g(x)＝e ^x －ax，其中a为实数．
(1)若f(x)在(1，＋∞)上是单调减函数，且g(x)在(1，＋∞)上有最小值，求a的取值范围；
(2)若g(x)在(－1，＋∞)上是单调增函数，试求f(x)的零点个数，并证明你的结论．

Answer 1

(1) a∈(e，＋∞)．
(2) 当a≤0或a＝e ^－1 时，f(x)的零点个数为1，当0<a<e ^－1 时，f(x)的零点个数为2. 证明见解析

(1)令f′(x)＝ －a＝ <0，考虑到f(x)的定义域为(0，＋∞)，故a>0，进而解得x>a ^－1 ，即f(x)在(a ^－1 ，＋∞)上是单调减函数．同理，f(x)在(0，a ^－1 )上是单调增函数．由于f(x)在(1，＋∞)上是单调减函数，故(1，＋∞)⊆(a ^－1 ，＋∞)，从而a ^－1 ≤1，即a≥1.令g′(x)＝e ^x －a＝0，得x＝ln a．当x<ln a时，g′(x)<0；当x>ln  a时，g′(x)>0.又g(x)在(1，＋∞)上有最小值，所以ln a>1，即a>e.
综上，有a∈(e，＋∞)．
(2)当a≤0时，g(x)必为单调增函数；当a>0时，令g′(x)＝e ^x －a>0，
解得a<e ^x ，即x>ln a，因为g(x)在(－1，＋∞)上是单调增函数，类似(1)有ln a≤－1，即0<a≤e ^－1 .结合上述两种情况，有a≤e ^－1 .
(ⅰ)当a＝0时，由f(1)＝0以及f′(x)＝ >0，得f(x)存在唯一的零点；
(ⅱ)当a<0时，由于f(e ^a )＝a－ae ^a ＝a(1－e ^a )<0，f(1)＝－a>0，且函数f(x)在[e ^a, 1]上的图象不间断，所以f(x)在(e ^a, 1)上存在零点．另外，当x>0时，f′(x)＝ －a>0，故f(x)在(0，＋∞)上是单调增函数，所以f(x)只有一个零点．
(ⅲ)当0<a≤e ^－1 时，令f′(x)＝ －a＝0，解得x＝a ^－1 .当0<x<a ^－1 时，f′(x)>0，当x>a ^－1 时，f′(x)<0，所以，x＝a ^－1 是f(x)的最大值点，且最大值为f(a ^－1 )＝－ln a－1.
①当－ln a－1＝0，即a＝e ^－1 时，f(x)有一个零点x＝e.
②当－ln a－1>0，即0<a<e ^－1 时，f(x)有两个零点．
实际上，对于0<a<e ^－1 ，由于f(e ^－1 )＝－1－ae ^－1 <0，f(a ^－1 )>0，且函数f(x)在[e ^－1 ，a ^－1 ]上的图象不间断，所以f(x)在(e ^－1 ，a ^－1 )上存在零点．
另外，当x∈(0，a ^－1 )时，f′(x)＝ －a>0，故f(x)在(0，a ^－1 )上是单调增函数，所以f(x)在(0，a ^－1 )上只有一个零点．
下面考虑f(x)在(a ^－1 ，＋∞)上的情况．先证f(e ^{a －1} )＝a(a ^－2 －e ^{a －1} )<0.
为此，我们要证明：当x>e时，e ^x >x ² .设h(x)＝e ^x －x ² ，则h′(x)＝e ^x －2x，再设l(x)＝h′(x)＝e ^x －2x，则l′(x)＝e ^x －2.
当x>1时，l′(x)＝e ^x －2>e－2>0，所以l(x)＝h′(x)在(1，＋∞)上是单调增函数．故当x>2时，h′(x)＝e ^x －2x>h′(2)＝e ² －4>0，从而h(x)在(2，＋∞)上是单调增函数．进而当x>e时，
h(x)＝e ^x －x ² >h(e)＝e ^e －e2>0.即当x>e时，e ^x >x ² .
当0<a<e ^－1 ，即a ^－1 >e时，f(e ^{a －1} )＝a ^－1 －ae ^{a －1} ＝a(a ^－2 －e ^{a －1} )<0，又f(a ^－1 )>0，且函数f(x)在[a ^－1 ，e ^{a －1} ]上的图象不间断，所以f(x)在(a ^－1 ，e ^{a －1} )上存在零点．又当x>a ^－1 时，f′(x)＝ －a<0，故f(x)在(a ^－1 ，＋∞)上是单调减函数，所以f(x)在(a ^－1 ，＋∞)上只有一个零点．
综合(ⅰ)，(ⅱ)，(ⅲ)，当a≤0或a＝e ^－1 时，f(x)的零点个数为1，当0<a<e ^－1 时，f(x)的零点个数为2.