已知：二次函数g（x）=ax2-2ax+b+1（a＞0）在区间[2，3]上有最大值4，最小值1．（1）求二次函数g（x）的图象的对称轴方程；（2）求函数g（x）的解析式；（3）设f(x)＝g(x)x．若f（2x）-k•2x≥0在

Question

已知：二次函数g（x）=ax²-2ax+b+1（a＞0）在区间[2，3]上有最大值4，最小值1．
（1）求二次函数g（x）的图象的对称轴方程；
（2）求函数g（x）的解析式；
（3）设f(x)＝(g(x))/(x)．若f（2^x）-k•2^x≥0在x∈[−1

，1

时恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

（1）∵g（x）=a（x-1）²-a+1+b，
∴函数g（x）的图象的对称轴方程为x=1．
（2）∵a＞0，∴g（x）=a（x-1）²-a+1+b在区间[2，3]上递增．
依题意得

g(2)＝1

g(3)＝4

，即

a−a+1+b＝1

4a−a+1+b＝4

，解得

a＝1

b＝0

，
∴g（x）=x²-2x+1．
（3）f(x)＝(g(x))/(x)＝x+(1)/(x)−2．
f（2^x）-k•2^x≥0在x∈[-1，1]时恒成立，
即  2x+(1)/(2x)−2−k•2x≥0在x∈[-1，1]时恒成立，也即k≤((1)/(2x))2-2((1)/(2x))+1在x∈[-1，1]时恒成立，
令t＝

作业帮用户 2017-11-06 举报

问题解析

（1）对g（x）进行配方即可求得；
（2）先判断g（x）的单调性，由单调性得到其最值，根据最值列出方程组，解出即可；
（3）由f（2^x）-k•2^x≥0在x∈[−1

，&1

时恒成立，分离出参数k，转化为函数最值问题，换元后利用二次函数知识可求出最值．

名师点评

本题考点：

二次函数在闭区间上的最值；二次函数的性质．

考点点评：

本题考查二次函数的性质及闭区间上的最值问题，对于恒成立问题转化为求函数最值是解决该类问题的常用方法．

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