求曲面z=x^2/2+y^2垂直于直线l:(x-1)/2=(y-1)/2=(z-1)/1的切平面方程

Question

求曲面z=x^2/2+y^2垂直于直线l:(x-1)/2=(y-1)/2=(z-1)/1的切平面方程

Answer 1

∵αz/αx=x,αz/αy=2y
∴曲面z=x²/2+y²在任意点(x,y,z)处切平面的法向量是(x,2y,-1)
∵此切平面垂直于直线l,且直线l的方向向量是(2,2,1)
∴向量(x,2y,-1)与向量(2,2,1)对应成比例,即取x=-2,y=-1
把x=-2,y=-1代入z=x²/2+y²,得z=3
故 所求切平面方程是2(x+2)+2(y+1)+(z-3)=0,即2x+2y+z+3=0.