已知函数f（x）=x2-ax-4（a∈R）的两个零点为x1，x2，设x1<x2．（1）当a>0时，证明：-2<x1<0；（2）若函数g（x）=x2-|f（x）|在区间（-∞，-2）和（2，+∞）上均单调递增，求a的取值范围．

Question

已知函数f（x）=x²-ax-4（a∈R）的两个零点为x₁，x₂，设x₁<x₂．
（1）当a>0时，证明：-2<x₁<0；
（2）若函数g（x）=x²-|f（x）|在区间（-∞，-2）和（2，+∞）上均单调递增，求a的取值范围．

Answer 1

（1）令f（x）=0解得x₁=(a-√(a2+16))/(2)，x₂=(a+√(a2+16))/(2)．
∵√(a2+16)>√(a2)=a，∴(a-√(a2+16))/(2)<0．∵a>0，∴√(a2+16)<√(a2+8a+16)=a+4，∴(a-√(a2+16))/(2)>(a-(a+4))/(2)=-2．
∴-2<x₁<0．
（2）g（x）=x²-|x²-ax-4|，∴g′（x）=2x-|2x-a|，
∵g（x）在区间（-∞，-2）和（2，+∞）上均单调递增，∴g′（x）>0，即2x>|2x-a|，（x>2）．
当a=0时，显然不成立，
若a>0，作出y=2x和y=|2x-a|的函数图象如图：

∴0<(a)/(4)≤2，解得0<a≤8．
若a<0，作出y=2x和y=|2x-a|的函数图象如图：

有图象可知2x<|2x-a|，故g′（x）>0不成立，不符合题意．
综上，a的取值范围是（0，8]．