如图，已知一个圆锥的底面半径为R=1，高为h=2．，一个圆柱的下底面在圆锥的底面上，且圆柱的上底面为圆锥的截面，设圆柱的高为x．（1）求圆柱的侧面积．（2）x为何值时，圆柱的侧面

Question

如图，已知一个圆锥的底面半径为R=1，高为h=2．，一个圆柱的下底面在圆锥的底面上，且圆柱的上底面为圆锥的截面，设圆柱的高为x．

（1）求圆柱的侧面积．
（2）x为何值时，圆柱的侧面积最大？

Answer 1

（1）作轴截面如图所示，
设内接圆柱底面半径为r
由三角形相似得(r)/(R)＝(h−x)/(h)，
所以r＝(1)/(2)(2−x)，
S_圆柱侧=2πx•(1)/(2)(2−x)＝πx(2−x)=π（-x²+2x）（0＜x＜2）．…（8分）
（2）S_圆柱侧=π（-x²+2x）=π[-（x-1）²+1]，又0＜x＜2，
所以当x=1时，S圆柱侧最大=π．…（12分）