如图，某纸箱厂用矩形硬纸板（PQST）割去四个矩形角，设计为按虚线折叠成的长方体纸箱．其中矩形ABCD为长方体的下底面，两全等矩形EFNM、HGNM拼成长方体纸箱盖，设纸箱长AB为x．（Ⅰ）若

Question

如图，某纸箱厂用矩形硬纸板（PQST）割去四个矩形角，设计为按虚线折叠成的长方体纸箱．其中矩形ABCD为长方体的下底面，两全等矩形EFNM、HGNM拼成长方体纸箱盖，设纸箱长AB为x．
（Ⅰ）若长方体纸箱的长、宽、高分别为80cm、50cm、40cm、则硬纸板PQST的长、宽应为多大？
（Ⅱ）若硬纸板PQST的长PT=240cm，宽TS=150cm，按此设计，当纸箱的长AB为何值时，纸箱体积最大？并计算最大体积．

Answer 1

（Ⅰ）由题意：PQ=AB+2H₁A=80+2×40=160（cm），
PT=AD+2AH+2HM=2AD+2AH=2×50+2×40=180（cm）．
（Ⅱ）∵PT=240，PQ=150，AB为x（0＜x＜150），
∴AH=AH₁=(1)/(2)（TS-AB）=(1)/(2)（150-x）．
∵AD=M₁H+EM，AH=DE，
∴AD=(1)/(2)（MM₁-2AH）=(1)/(2)（PT-2AH）=(1)/(2)[240-（150-x）]=45+(1)/(2)x，
∴纸箱体积V（x）=(1)/(2)x（150-x）（45+(1)/(2)x）=-(1)/(4)x³+15x²+3375x．
V′（x）=-(3)/(4)x²+30x+3375．
令V′（x）=0，x²-40x-4500=0，解得：x₁=90，x₂=-50（不合题意，舍去）．
当x∈（0，90）时，V′（x）＞0，V（x）是增函数；
当x∈（90，150）时，V′（x）＜0，V（x）是减函数，
∴当x=90时，V（x）取到极大值V（90）=243000．
∵V（x）在（0，150）上只有一个极值，所以它是最大值．
∴当纸箱的长AB=90时，纸箱体积最大，最大体积为243000（cm³）．