设f(x,y)有一阶连续偏导数,f(0,1)=f(1,0),证明在x^2+y^2=1上至少存在两个不同的点满足yəf/əx=xəf/əy

Question

设f(x,y)有一阶连续偏导数,f(0,1)=f(1,0),证明在x^2+y^2=1上至少存在两个不同的点满足yəf/əx=xəf/əy

Answer 1

利用əf/əx＝əf/ər*cosθ－əf/əθ*sinθ/r,əf/ay=əf/ər*sinθ+əf/aθ*cosθ/r,于是
yəf/əx－xəf/əy＝－əf/əθ,
故考虑g(θ)＝f(cosθ,sinθ),0<=θ<=2pi,则g(θ)在[0,2pi]上连续可微,
且由条件,g(0)＝g(pi/2)＝g(2pi),g'(θ)＝əf/əθ,由微分中值定理易得结论.
ps：别的题我也给你做了,怎么发给你?