1.已知A(1,2),B(3,4)直线L1:x=0L2:y=0和L3:x+3y-1=0.设Pi是Li(i=1,2,3)上与A,B两点距离平方和最小的点,则△P1P2P3的面积是?2直线2x-y-4=0上有一点P,它与两定点A(4,-1),B(3,4)的距离之差最大,则P点坐标是?

Question

1.已知A(1,2),B(3,4) 直线L1:x=0 L2:y=0 和L3:x+3y-1=0.设Pi是Li(i=1,2,3)上与A,B两点距离平方和最小的点,则△P1P2P3的面积是?
2直线2x-y-4=0上有一点P,它与两定点A(4,-1),B(3,4)的距离之差最大,则P点坐标是?

Answer 1

设P1(0,a)则｜PA｜^2+｜PB｜^2=(0-1)^2+(a-2)^2+(0-3)^2+(a-4)^2=2a^2-12a+30,当且仅当a=3时有最小值,即P1(0,3);
同理,设P2(b,0)则｜PA｜^2+｜PB｜^2=(b-1)^2+(0-2)^2+(b-3)^2+(0-4)^2=2b^2-8b+30,当且仅当b=2时有最小值,即P1(2,0);
设P3(1-3m,m)则｜PA｜^2+｜PB｜^2=(1-3m-1)^2+(m-2)^2+(1-3m-3)^2+(m-4)^2=20m^2+24,当且仅当m=0时有最小值,即P3(1,0);
则S△P1P2P3=1/2*1*3=3/2
将B 关于 直线2x-y-4=0对称,得到对称点 M（x,y）所有 |PB| =|PM |
直线的斜率为2
所以BM斜率为 -1/2
BM中点在直线2x-y-4=0 上 ,
x=23/5 y=16/5
若P A M不共线,则构成三角形
三角形2边之差小于第三边 PA - PM < AM
P A M共线 PA - PM = AM
|PB| =|PM |
PA -PB 的最大值为AM
P点在AM与直线2x-y-4=0 的交点
直线AM 方程为 Y+1=7(X-4)
交点为 （5,6）