f(x)在[0,1]上有三阶导数,f(1)=0,设F(x)=x^3f(x),证（0,1）内一点A,F“‘（A)=0,只用麦克劳林公式,不不用罗尔定理能证明吗?

Question

f(x)在[0,1]上有三阶导数,f(1)=0,设F(x)=x^3f(x),证（0,1）内一点A,F“‘（A)=0,只用麦克劳林公式,不
不用罗尔定理能证明吗?

Answer 1

只能用麦克劳林公式,解题如下：
对F(x)在x=0处用麦克劳林公式展开：
F(x)=F(0)+F'(0)*x+F''(0)*x^2/2+F'''(A)*x^3/3!,A∈(0,1)……(1)
又有F(x)=x^3*f(x)
故F(0)=F(1)=0
代入(1)式：F(x)=0+0+0+F'''(A)*x^3/3!
再令x=1,有：
F(1)=F'''(A)/6=0
故有：F'''(A)=0
但应该不能用罗尔中值定理
因为F''(x)=6xf(x)+6x^2f'(x)+x^3f''(x)
又因为题目无提及f'(x)和f''(x)
所以我们应该无办法找到2个不同的点x1,x2,使得F''(x1)=F''(x2)
故罗尔中值定理的使用条件不满足,所以应该不能用
有不懂欢迎追问