求函数f（x）=x2ln（1+x）在x=0处的n阶导数f（n）（0）（n≥3）．

Question

求函数f（x）=x²ln（1+x）在x=0处的n阶导数f^（n）（0）（n≥3）．

Answer 1

∵[ln(1+x)](k)＝((−1)k−1(k−1)!)/((1+x)k+1)，(k＝0，1，2，…)
(uv)(n)＝u(0)v(n)+

C

1 n

u(1)v(n−1)+

C

2 n

u(2)v(n−2)+…+

C

n n

u(n)v(0)
∴f(n)(x)＝x2•((−1)n−1(n−1)!)/((1+x)n)+2nx•((−1)n−2(n−2)!)/((1+x)n−1)+n(n−1)•((−1)n−3(n−3)!)/((1+x)n−2)
∴f(n)(0)＝n(n−1)•((−1)n−3(n−3)!)/((1+0)n−2)＝n(n−1)•(−1)n−3(n−3)!＝((−1)n−3n!)/(n−2)