已知函数f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且满足f（xy）=f（x）+f（y）（x，y＞0），f（2）=1．（1）求f（1）的值；（2）求满足f（x）+f（x-3）≤2的x的取值范围．

Question

已知函数f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且满足f（xy）=f（x）+f（y）（x，y＞0），f（2）=1．
（1）求f（1）的值；
（2）求满足f（x）+f（x-3）≤2的x的取值范围．

Answer 1

（1）∵f（2）=f（1×2）=f（1）+f（2），
∴f（1）=0．
（2）∵f（xy）=f（x）+f（y），f（2）=1
f（4）=f（2×2）=f（2）+f（2）=2f（2）=2×1=2，
所以f（x）+f（x-3）=f[x（x-3）]≤2=f（4）
已知函数f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数
所以f（0）＜f（x²-3x）≤f（4）且x＞0
即0＜x²-3x≤4，且x＞0
解得：3＜x≤4．
综上：{x|3＜x≤4}．