1.已知函数f(x)满足f(x)+2f(1/x)=2x-1,求f(x)2.设f(x)是定义在R上的函数,且满足f(0)=1,并且对任意实数x,y有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1),求f(x)的表达式.3.若一次函数f(f(x))=4x+3,则f(x)=?

Question

1.已知函数f(x)满足f(x)+2f(1/x)=2x-1,求f(x)
2.设f(x)是定义在R上的函数,且满足f(0)=1,并且对任意实数x,y有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1),求f(x)的表达式.
3.若一次函数f(f(x))=4x+3,则f(x)=?

Answer 1

求f(x)只要构造一个求f(x)的方程组即可.本题方法如下：
把1/x代入有：f(1/x)+2f(1/(1/x))=2(1/x)-1
即:f(1/x)+2f(x)=2/x-1和原方程连立有：
f(1/x)+2f(x)=2/x-1 （1）
f(x)+2f(1/x)=2x-1 （2）
上面2倍减去下面有:3f(x)=4/x-2x-1 所以f(x)=4/3x-2/3x-1/3
2.思想和上面相似：
(x-y)+(y-x)=0
f(x-y+y-x)=f(x-y)-(y-x)*(2(x-y)-(y-x)+1)=f(x)-y(2x-y+1)-(y-x)*(2(x-y)-(y-x)+1)=1
最后可解出f(x)
3.设f(x)=ax+b;
则f(f(x))=f(ax+b)=a(ax+b)+b=a^2x+ab+b=4x+3
所以a^2=4,ab+b=3
所以解出a=2,b=1或a=-2,b=-3
所以f(x)=2x+1 或f(x)=-2x-3