一次研究性课堂上，老师给出了函数f(x)＝x1+|x|(x∈R)，三位同学甲、乙、丙在研究此函数时分别给出命题：①函数f（x）的值域为（-1，1）；②若x1≠x2，则一定有f（x1）≠f（x2）③若规定f1（

Question

一次研究性课堂上，老师给出了函数f(x)＝(x)/(1+|x|)(x∈R)，三位同学甲、乙、丙在研究此函数时分别给出命题：
①函数f（x）的值域为（-1，1）；
②若x₁≠x₂，则一定有f（x₁）≠f（x₂）
③若规定f₁（x）=f（x），f_n（x）=f（f_n-1（x）），则fn(x)＝(x)/(1+n|x|)对任意n∈N*恒成立．
你认为上述三个命题中正确的个数是（　　）

A．0个
B．1个
C．2个
D．3个

Answer 1

∵f（-x）-f（x）
∴f（x）为奇函数
∵f(x)＝(x)/(1+|x|)＝

(x)/(1+x)(x≥0)

(x)/(1−x)(x＜0)

x≥0时，f(x)＝(x)/(1+x)＝1−(1)/(1+x)∈[0，1)
∵f（x）为奇函数，
∴当x＜0是，f（x）∈（-1，0）
总之，f（x）∈（-1，1）
故甲对
当x≥0时，f(x)＝(x)/(1+x)＝1−(1)/(1+x)∈[0，1)为增函数，
∵f（x）为奇函数
∴当x＜0是，f（x）∈（-1，0）为增函数
所以f（x）在（-1，1）上为增函数
故当x₁≠x₂时，则一定有f（x₁）≠f（x₂）
故乙对
若规定f₁（x）=f（x），f_n（x）=f（f_n-1（x）），
则当n=1时，f1(x)＝(x)/(1+|x|)，满足fn(x)＝(x)/(1+n|x|)
设n=k时，满足fk(x)＝(x)/(1+k|x|)
当n=k+1时，f_K+1（x）=f（f_K（x））=((x)/(1+k|x|))/(1+|(x)/(1+k|x|)|)=(x)/(1+(k+1)|x|)
即fn(x)＝(x)/(1+n|x|)对任意n∈N*恒成立
故丙对
故选D