考虑一元函数f（x）有下列四条性质①f（x）在[a，b]上连续；②f（x）在[a，b]上可积；③f（x）在[a，b]内可导；④f（x）在[a，b]存在原函数，如果用“P⇒Q”表示可由性质P推出性

Question

考虑一元函数f（x）有下列四条性质
①f（x）在[a，b]上连续；        ②f（x）在[a，b]上可积；
③f（x）在[a，b]内可导；        ④f（x）在[a，b]存在原函数，
如果用“P⇒Q”表示可由性质P推出性质Q，则有（　　）

A．①⇒②⇒④
B．①⇒④⇒②
C．③⇒①⇒②
D．③⇒④⇒①

Answer 1

①⇒②：利用可积的充要条件可知，如果函数f（x）在[a，b]上连续，则f（x）在[a，b]上可积．
但反之不然，例如：f（x）=sgnx 在[-1，1]上可积，但是sgnx在x=0处不连续．
③⇒①：由导数的定义式可知，如果函数f（x）在x₀处可导，则f（x）在x₀处连续；从而，f（x）在[a，b]内可导⇒f（x）在[a，b]内连续．
但反之不然，例如：f（x）=|x|在[-1，1]上连续，但在x=0处不可导．
需要特别注意的是，②与④并不是等价的．
利用牛顿-莱布尼兹公式可得，如果f（x）在[a，b]上可积，且f（x）在[a，b]存在原函数F（x），则

∫

b a

f(x)dx=F（b）-F（a）．
但如果f（x）在[a，b]上不可积，f（x）在[a，b]上也有可能存在原函数．
例如：取F（x）=

x2sin(1)/(x)，  x≠0

0，  x＝0

，f（x）=

2xsin(1)/(x)−cos(1)/(x)，  x≠0

0，  x＝0

，
则F（x）是f（x）的一个原函数，但f（x）在[0，π]上不可积．
因为导数不存在第一类间断点，故如果f（x）在[a，b]上存在原函数F（x），则f（x）=F′（x）不能存在第一类间断点．
因为f（x）在[a，b]上可积的一个充分条件是：f（x）连续或f（x）存在有穷多个第一类间断点，
而若
故可积不一定存在原函数．
例如：f（x）=sgnx在[-1，1]上可积，但是不存在原函数．
综上，应该有：③⇒①⇒②．
故选：C．