已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时的解析式为f(x)＝x−2x−1．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）求函数f（x）的零点．

Question

已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时的解析式为f(x)＝x−(2)/(x)−1．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数f（x）的零点．

Answer 1

（Ⅰ）∵函数f（x）是奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x−(2)/(x)−1，
∴当x＜0时，-x＞0，
∴f(x)＝−f(−x)＝−(−x−(2)/(−x)−1)＝x−(2)/(x)+1，
又f（x）的定义域为R，
∴当x=0时，f（x）=0，
综上可得，f(x)＝

x−(2)/(x)−1，x＞0

0，x＝0

x−(2)/(x)+1，x＜0

．
（Ⅱ）当x＞0时，令x−(2)/(x)−1＝0，
即x²-x-2=0，
解得x₁=2，x₂=-1（舍去）．
当x=0时，f（x）=0，
∴x=0．
当x＜0时，令x−(2)/(x)+1＝0，
即x²+x-2=0，
解得x₁=-2，x₂=1（舍去），
综上可得，函数f（x）的零点为-2，0，2．