设多项式p(x)=(x－a1)(x－a2)…(x－an)－1,其中ai(i=1,2,…,n)是n个互不相同的整数.证明：p(x)不能分解为两个次数大于零的整系数多项式之积.

Question

设多项式p(x)=(x－a1)(x－a2) …(x－an)－1,其中ai(i=1,2,…,n)是n个互不相同的整数.证明：p(x)不能分解为两个次数大于零的整系数多项式之积.

Answer 1

反证法：若p(x)=f(x)*g(x),其中f,g是两个次数都大于等于1的整系数多项式.
由于-1=p(ai)=f(ai)*g(ai),1<=i<=n,则
f(ai)=1,g(ai)=-1或者f(ai)=-1,g(ai)=1.
即f(ai)+g(ai)=0对所有的i成立.
因此多项式h(x)=f(x)+g(x)至少有a1,a2,...,an这n个实根,
但h(x)次数小于n,故h(x)只能是零多项式,于是
p(x)=-f^2(x),则p(x)不会取正函数值.但显然当x充分大时有p(x)取正值.矛盾.