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（2007•崇文区一模）已知双曲线C的中心为坐标原点O，焦点F1、F2在x轴上，点P在双曲线的左支上，点M在右准线上，且满足F1O＝PM，|OF1|＝|OM|．（Ⅰ）求双曲线C的离心率e；（Ⅱ）若双曲线C过

题目详情
（2007•崇文区一模）已知双曲线C的中心为坐标原点O，焦点F1、F2在x轴上，点P在双曲线的左支上，点M在右准线上，且满足
F1O
＝
PM
，|
OF1
|＝|
OM
|．
（Ⅰ）求双曲线C的离心率e；
（Ⅱ）若双曲线C过点Q（2，
3
），B1、B2是双曲线虚轴的上、下端点，点A、B是双曲线上不同的两点，且
B2A
＝λ
B2B
，
B2A
⊥
B1B
，求直线AB的方程．12
F1O
＝
PM
，|
OF1
|＝|
OM
|．
（Ⅰ）求双曲线C的离心率e；
（Ⅱ）若双曲线C过点Q（2，
3
），B1、B2是双曲线虚轴的上、下端点，点A、B是双曲线上不同的两点，且
B2A
＝λ
B2B
，
B2A
⊥
B1B
，求直线AB的方程．
F1O
F1OF1OF1OF1O1O
PM
PMPM
OF1
OF1OF1F1F11
OM
OMOM

3
），B1、B2是双曲线虚轴的上、下端点，点A、B是双曲线上不同的两点，且
B2A
＝λ
B2B
，
B2A
⊥
B1B
，求直线AB的方程．
3
3
312
B2A
＝λ
B2B
，
B2A
⊥
B1B
，求直线AB的方程．
B2A
B2AB2AB2AB2A2A
B2B
B2BB2BB2BB2B2B
B2A
B2AB2AB2AB2A2A
B1B
B1BB1BB1BB1B1B
▼优质解答
答案和解析
（Ⅰ）设双曲线C的方程为
x2
a2
−
y2
b2
＝1(a＞0，b＞0)，且F1(−c，0)，F2(c，0).
∵
F1O
＝
PM
，|
OF1
|＝|
OM
|
∴四边形OMPF1为菱形
∴|
PF2
|＝2a+|
PF1
|＝2a+c，|PM|＝c∴
2a+c
c
＝e＝
c
a
∴e=2
（Ⅱ）由（I）知e=2，∴c=2a，∴b2=c2-a2=3a2，
∴双曲线C的方程为
x2
a2
−
y2
3a2
＝1又曲线C过点Q(2，
3
)
∴
4
a2
−
3
3a2
＝1，a2＝3，b2＝9∴双曲线C的方程为
x2
3
−
y2
9
＝1
∵
B2A
＝λ
B2B
，∴A、B2、B三点共线．∵
B2A
⊥
B1B
，∴∵
B2A
⊥
B1B
.
①当直线AB垂直x轴时，不合题意．
②当直线AB不垂直x轴时，由B1（0，3），B2（0，-3），
可设直线AB的方程为y=kx-3，①∴直线B1B的方程为y＝−
1
k
x+3.②
由①，②知B(
6k
k2+1
，
3k2−3
k2+1
)，代入双曲线方程得3×
36k2
(k2+1)2
−
9(k2−1)
(k2+1)2
＝9，∴k4−6k2+1＝0，解得k＝±
2
±1，
故直线AB的方程为y＝(±
2
±1)x−3．
x2
a2
x2x2x22a2a2a22−
y2
b2
y2y2y22b2b2b22＝1(a＞0，b＞0)，且F1(−c，0)，F2(c，0).
∵
F1O
＝
PM
，|
OF1
|＝|
OM
|
∴四边形OMPF1为菱形
∴|
PF2
|＝2a+|
PF1
|＝2a+c，|PM|＝c∴
2a+c
c
＝e＝
c
a
∴e=2
（Ⅱ）由（I）知e=2，∴c=2a，∴b2=c2-a2=3a2，
∴双曲线C的方程为
x2
a2
−
y2
3a2
＝1又曲线C过点Q(2，
3
)
∴
4
a2
−
3
3a2
＝1，a2＝3，b2＝9∴双曲线C的方程为
x2
3
−
y2
9
＝1
∵
B2A
＝λ
B2B
，∴A、B2、B三点共线．∵
B2A
⊥
B1B
，∴∵
B2A
⊥
B1B
.
①当直线AB垂直x轴时，不合题意．
②当直线AB不垂直x轴时，由B1（0，3），B2（0，-3），
可设直线AB的方程为y=kx-3，①∴直线B1B的方程为y＝−
1
k
x+3.②
由①，②知B(
6k
k2+1
，
3k2−3
k2+1
)，代入双曲线方程得3×
36k2
(k2+1)2
−
9(k2−1)
(k2+1)2
＝9，∴k4−6k2+1＝0，解得k＝±
2
±1，
故直线AB的方程为y＝(±
2
±1)x−3． 1(−c，0)，F2(c，0).
∵
F1O
＝
PM
，|
OF1
|＝|
OM
|
∴四边形OMPF1为菱形
∴|
PF2
|＝2a+|
PF1
|＝2a+c，|PM|＝c∴
2a+c
c
＝e＝
c
a
∴e=2
（Ⅱ）由（I）知e=2，∴c=2a，∴b2=c2-a2=3a2，
∴双曲线C的方程为
x2
a2
−
y2
3a2
＝1又曲线C过点Q(2，
3
)
∴
4
a2
−
3
3a2
＝1，a2＝3，b2＝9∴双曲线C的方程为
x2
3
−
y2
9
＝1
∵
B2A
＝λ
B2B
，∴A、B2、B三点共线．∵
B2A
⊥
B1B
，∴∵
B2A
⊥
B1B
.
①当直线AB垂直x轴时，不合题意．
②当直线AB不垂直x轴时，由B1（0，3），B2（0，-3），
可设直线AB的方程为y=kx-3，①∴直线B1B的方程为y＝−
1
k
x+3.②
由①，②知B(
6k
k2+1
，
3k2−3
k2+1
)，代入双曲线方程得3×
36k2
(k2+1)2
−
9(k2−1)
(k2+1)2
＝9，∴k4−6k2+1＝0，解得k＝±
2
±1，
故直线AB的方程为y＝(±
2
±1)x−3． 2(c，0).
∵
F1O
＝
PM
，|
OF1
|＝|
OM
|
∴四边形OMPF1为菱形
∴|
PF2
|＝2a+|
PF1
|＝2a+c，|PM|＝c∴
2a+c
c
＝e＝
c
a
∴e=2
（Ⅱ）由（I）知e=2，∴c=2a，∴b2=c2-a2=3a2，
∴双曲线C的方程为
x2
a2
−
y2
3a2
＝1又曲线C过点Q(2，
3
)
∴
4
a2
−
3
3a2
＝1，a2＝3，b2＝9∴双曲线C的方程为
x2
3
−
y2
9
＝1
∵
B2A
＝λ
B2B
，∴A、B2、B三点共线．∵
B2A
⊥
B1B
，∴∵
B2A
⊥
B1B
.
①当直线AB垂直x轴时，不合题意．
②当直线AB不垂直x轴时，由B1（0，3），B2（0，-3），
可设直线AB的方程为y=kx-3，①∴直线B1B的方程为y＝−
1
k
x+3.②
由①，②知B(
6k
k2+1
，
3k2−3
k2+1
)，代入双曲线方程得3×
36k2
(k2+1)2
−
9(k2−1)
(k2+1)2
＝9，∴k4−6k2+1＝0，解得k＝±
2
±1，
故直线AB的方程为y＝(±
2
±1)x−3．
F1O
F1OF1OF1O1O＝
PM
PMPMPM，|
OF1
OF1OF1OF11|＝|
OM
OMOMOM|
∴四边形OMPF11为菱形
∴|
PF2
|＝2a+|
PF1
|＝2a+c，|PM|＝c∴
2a+c
c
＝e＝
c
a
∴e=2
（Ⅱ）由（I）知e=2，∴c=2a，∴b2=c2-a2=3a2，
∴双曲线C的方程为
x2
a2
−
y2
3a2
＝1又曲线C过点Q(2，
3
)
∴
4
a2
−
3
3a2
＝1，a2＝3，b2＝9∴双曲线C的方程为
x2
3
−
y2
9
＝1
∵
B2A
＝λ
B2B
，∴A、B2、B三点共线．∵
B2A
⊥
B1B
，∴∵
B2A
⊥
B1B
.
①当直线AB垂直x轴时，不合题意．
②当直线AB不垂直x轴时，由B1（0，3），B2（0，-3），
可设直线AB的方程为y=kx-3，①∴直线B1B的方程为y＝−
1
k
x+3.②
由①，②知B(
6k
k2+1
，
3k2−3
k2+1
)，代入双曲线方程得3×
36k2
(k2+1)2
−
9(k2−1)
(k2+1)2
＝9，∴k4−6k2+1＝0，解得k＝±
2
±1，
故直线AB的方程为y＝(±
2
±1)x−3． |
PF2
PF2PF2PF22|＝2a+|
PF1
PF1PF1PF11|＝2a+c，|PM|＝c∴
2a+c
c
＝e＝
c
a
∴e=2
（Ⅱ）由（I）知e=2，∴c=2a，∴b2=c2-a2=3a2，
∴双曲线C的方程为
x2
a2
−
y2
3a2
＝1又曲线C过点Q(2，
3
)
∴
4
a2
−
3
3a2
＝1，a2＝3，b2＝9∴双曲线C的方程为
x2
3
−
y2
9
＝1
∵
B2A
＝λ
B2B
，∴A、B2、B三点共线．∵
B2A
⊥
B1B
，∴∵
B2A
⊥
B1B
.
①当直线AB垂直x轴时，不合题意．
②当直线AB不垂直x轴时，由B1（0，3），B2（0，-3），
可设直线AB的方程为y=kx-3，①∴直线B1B的方程为y＝−
1
k
x+3.②
由①，②知B(
6k
k2+1
，
3k2−3
k2+1
)，代入双曲线方程得3×
36k2
(k2+1)2
−
9(k2−1)
(k2+1)2
＝9，∴k4−6k2+1＝0，解得k＝±
2
±1，
故直线AB的方程为y＝(±
2
±1)x−3．
2a+c
c
2a+c2a+c2a+cccc＝e＝
c
a
cccaaa∴e=2
（Ⅱ）由（I）知e=2，∴c=2a，∴b22=c22-a22=3a22，
∴双曲线C的方程为
x2
a2
−
y2
3a2
＝1又曲线C过点Q(2，
3
)
∴
4
a2
−
3
3a2
＝1，a2＝3，b2＝9∴双曲线C的方程为
x2
3
−
y2
9
＝1
∵
B2A
＝λ
B2B
，∴A、B2、B三点共线．∵
B2A
⊥
B1B
，∴∵
B2A
⊥
B1B
.
①当直线AB垂直x轴时，不合题意．
②当直线AB不垂直x轴时，由B1（0，3），B2（0，-3），
可设直线AB的方程为y=kx-3，①∴直线B1B的方程为y＝−
1
k
x+3.②
由①，②知B(
6k
k2+1
，
3k2−3
k2+1
)，代入双曲线方程得3×
36k2
(k2+1)2
−
9(k2−1)
(k2+1)2
＝9，∴k4−6k2+1＝0，解得k＝±
2
±1，
故直线AB的方程为y＝(±
2
±1)x−3． 双曲线C的方程为
x2
a2
x2x2x22a2a2a22−
y2
3a2
y2y2y223a23a23a22＝1又曲线C过点Q(2，
3
)
∴
4
a2
−
3
3a2
＝1，a2＝3，b2＝9∴双曲线C的方程为
x2
3
−
y2
9
＝1
∵
B2A
＝λ
B2B
，∴A、B2、B三点共线．∵
B2A
⊥
B1B
，∴∵
B2A
⊥
B1B
.
①当直线AB垂直x轴时，不合题意．
②当直线AB不垂直x轴时，由B1（0，3），B2（0，-3），
可设直线AB的方程为y=kx-3，①∴直线B1B的方程为y＝−
1
k
x+3.②
由①，②知B(
6k
k2+1
，
3k2−3
k2+1
)，代入双曲线方程得3×
36k2
(k2+1)2
−
9(k2−1)
(k2+1)2
＝9，∴k4−6k2+1＝0，解得k＝±
2
±1，
故直线AB的方程为y＝(±
2
±1)x−3． 又曲线C过点Q(2，
3
3
33)
∴
4
a2
−
3
3a2
＝1，a2＝3，b2＝9∴双曲线C的方程为
x2
3
−
y2
9
＝1
∵
B2A
＝λ
B2B
，∴A、B2、B三点共线．∵
B2A
⊥
B1B
，∴∵
B2A
⊥
B1B
.
①当直线AB垂直x轴时，不合题意．
②当直线AB不垂直x轴时，由B1（0，3），B2（0，-3），
可设直线AB的方程为y=kx-3，①∴直线B1B的方程为y＝−
1
k
x+3.②
由①，②知B(
6k
k2+1
，
3k2−3
k2+1
)，代入双曲线方程得3×
36k2
(k2+1)2
−
9(k2−1)
(k2+1)2
＝9，∴k4−6k2+1＝0，解得k＝±
2
±1，
故直线AB的方程为y＝(±
2
±1)x−3．
4
a2
444a2a2a22−
3
3a2
3333a23a23a22＝1，a2＝3，b2＝9∴双曲线C的方程为
x2
3
−
y2
9
＝1
∵
B2A
＝λ
B2B
，∴A、B2、B三点共线．∵
B2A
⊥
B1B
，∴∵
B2A
⊥
B1B
.
①当直线AB垂直x轴时，不合题意．
②当直线AB不垂直x轴时，由B1（0，3），B2（0，-3），
可设直线AB的方程为y=kx-3，①∴直线B1B的方程为y＝−
1
k
x+3.②
由①，②知B(
6k
k2+1
，
3k2−3
k2+1
)，代入双曲线方程得3×
36k2
(k2+1)2
−
9(k2−1)
(k2+1)2
＝9，∴k4−6k2+1＝0，解得k＝±
2
±1，
故直线AB的方程为y＝(±
2
±1)x−3． 2＝3，b2＝9∴双曲线C的方程为
x2
3
−
y2
9
＝1
∵
B2A
＝λ
B2B
，∴A、B2、B三点共线．∵
B2A
⊥
B1B
，∴∵
B2A
⊥
B1B
.
①当直线AB垂直x轴时，不合题意．
②当直线AB不垂直x轴时，由B1（0，3），B2（0，-3），
可设直线AB的方程为y=kx-3，①∴直线B1B的方程为y＝−
1
k
x+3.②
由①，②知B(
6k
k2+1
，
3k2−3
k2+1
)，代入双曲线方程得3×
36k2
(k2+1)2
−
9(k2−1)
(k2+1)2
＝9，∴k4−6k2+1＝0，解得k＝±
2
±1，
故直线AB的方程为y＝(±
2
±1)x−3． 2＝9∴双曲线C的方程为
x2
3
−
y2
9
＝1
∵
B2A
＝λ
B2B
，∴A、B2、B三点共线．∵
B2A
⊥
B1B
，∴∵
B2A
⊥
B1B
.
①当直线AB垂直x轴时，不合题意．
②当直线AB不垂直x轴时，由B1（0，3），B2（0，-3），
可设直线AB的方程为y=kx-3，①∴直线B1B的方程为y＝−
1
k
x+3.②
由①，②知B(
6k
k2+1
，
3k2−3
k2+1
)，代入双曲线方程得3×
36k2
(k2+1)2
−
9(k2−1)
(k2+1)2
＝9，∴k4−6k2+1＝0，解得k＝±
2
±1，
故直线AB的方程为y＝(±
2
±1)x−3． 双曲线C的方程为
x2
3
x2x2x22333−
y2
9
y2y2y22999＝1
∵
B2A
＝λ
B2B
，∴A、B2、B三点共线．∵
B2A
⊥
B1B
，∴∵
B2A
⊥
B1B
.
①当直线AB垂直x轴时，不合题意．
②当直线AB不垂直x轴时，由B1（0，3），B2（0，-3），
可设直线AB的方程为y=kx-3，①∴直线B1B的方程为y＝−
1
k
x+3.②
由①，②知B(
6k
k2+1
，
3k2−3
k2+1
)，代入双曲线方程得3×
36k2
(k2+1)2
−
9(k2−1)
(k2+1)2
＝9，∴k4−6k2+1＝0，解得k＝±
2
±1，
故直线AB的方程为y＝(±
2
±1)x−3．
B2A
B2AB2AB2A2A＝λ
B2B
B2BB2BB2B2B，∴A、B22、B三点共线．∵
B2A
⊥
B1B
，∴∵
B2A
⊥
B1B
.
①当直线AB垂直x轴时，不合题意．
②当直线AB不垂直x轴时，由B1（0，3），B2（0，-3），
可设直线AB的方程为y=kx-3，①∴直线B1B的方程为y＝−
1
k
x+3.②
由①，②知B(
6k
k2+1
，
3k2−3
k2+1
)，代入双曲线方程得3×
36k2
(k2+1)2
−
9(k2−1)
(k2+1)2
＝9，∴k4−6k2+1＝0，解得k＝±
2
±1，
故直线AB的方程为y＝(±
2
±1)x−3．
B2A
B2AB2AB2A2A⊥
B1B
B1BB1BB1B1B，∴∵
B2A
B2AB2AB2A2A⊥
B1B
B1BB1BB1B1B.
①当直线AB垂直x轴时，不合题意．
②当直线AB不垂直x轴时，由B11（0，3），B22（0，-3），
可设直线AB的方程为y=kx-3，①∴直线B11B的方程为y＝−
1
k
x+3.②
由①，②知B(
6k
k2+1
，
3k2−3
k2+1
)，代入双曲线方程得3×
36k2
(k2+1)2
−
9(k2−1)
(k2+1)2
＝9，∴k4−6k2+1＝0，解得k＝±
2
±1，
故直线AB的方程为y＝(±
2
±1)x−3． y＝−
1
k
111kkkx+3.②
由①，②知B(
6k
k2+1
，
3k2−3
k2+1
)，代入双曲线方程得3×
36k2
(k2+1)2
−
9(k2−1)
(k2+1)2
＝9，∴k4−6k2+1＝0，解得k＝±
2
±1，
故直线AB的方程为y＝(±
2
±1)x−3． B(
6k
k2+1
6k6k6kk2+1k2+1k2+12+1，
3k2−3
k2+1
3k2−33k2−33k2−32−3k2+1k2+1k2+12+1)，代入双曲线方程得3×
36k2
(k2+1)2
−
9(k2−1)
(k2+1)2
＝9，∴k4−6k2+1＝0，解得k＝±
2
±1，
故直线AB的方程为y＝(±
2
±1)x−3． 3×
36k2
(k2+1)2
36k236k236k22(k2+1)2(k2+1)2(k2+1)22+1)22−
9(k2−1)
(k2+1)2
9(k2−1)9(k2−1)9(k2−1)2−1)(k2+1)2(k2+1)2(k2+1)22+1)22＝9，∴k4−6k2+1＝0，解得k＝±
2
±1，
故直线AB的方程为y＝(±
2
±1)x−3． 4−6k2+1＝0，解得k＝±
2
±1，
故直线AB的方程为y＝(±
2
±1)x−3． 2+1＝0，解得k＝±
2
2
22±1，
故直线AB的方程为y＝(±
2
±1)x−3． y＝(±
2
2
22±1)x−3．
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