如图,已知抛物线 y=ax +bx+c 经过 A(0,4),B（4,0）,C（–1,0）三点.过点 A 作垂直于 y 轴的直线 l.在抛物线上有一动点 P,过点 P 作直线 PQ 平行于 y 轴交直线 l 于点 Q .连结 AP.2 （1）求抛物线 y=ax +bx+c

Question

如图,已知抛物线 y=ax +bx+c 经过 A(0,4),B（4,0）,C（–1,0）三点.过点 A 作垂直于 y 轴的直线 l.在抛物线上有一动点 P,过点 P 作直线 PQ 平行于 y 轴交直线 l 于点 Q .连结 AP.2 （1）求抛物线 y=ax +bx+c 的解析式； （2）是否存在点 P,使得以 A、P、Q 三点构成的三角形与△AOC 相似.如果存在,请求出点 P 的坐标,若不存在,请说明理由； 2 （3）当点 P 位于抛物线 y=ax +bx+c 的对称轴的右侧.若将△APQ 沿 AP 对折,点 Q 的对应点为点 M.求当点 M 落在坐标轴上时直 线 AP 的解析式.
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Answer 1

（1）由题意得
c=4,
16a+4b+c=0
a-b+c=0
∴a=-1, b=3, c=4
∴Y=-X²+3X+4
 
(2)设存在点P,若点P横坐标为X,则纵坐标为-X²+3X+4,则AQ=lxl,PQ=l-X²+3X+4-4l
由题意得AQ/PQ=OA/OC=4或AQ/PQ=OC/OA=1/4
即l-X²+3Xl=4lXl或l-X²+3Xl=1/4lXl
解得X1=-1,X2=7；X3=11/4, X4=13/4

(3)如图,若对称点Q' 在Y轴,则∠PAQ=45°,
设AP解析式为Y=KX+B,则K=1或-1,
当K=1时,把A（0,4）代入得Y=X+4,
当K=-1时,把A（0,4）代入得Y=-X+4,
此时P在对称轴右侧,符合题意,
∴Y=X+4,或Y=-X+4,