已经很多年没有接触过了,已知直线I过原点,抛物线C的顶点在原点,焦点在x轴的正半轴上,若A(-1,0),B(0,8)关于直线I对称的点都在C上,求直线I和抛物线C的方程.

Question

已经很多年没有接触过了,
已知直线I过原点,抛物线C的顶点在原点,焦点在x轴的正半轴上,若A(-1,0),B(0,8)关于直线I对称的点都在C上,求直线I和抛物线C的方程.

Answer 1

设y = kx 为直线l
因为A(-1,0),B(0,8)关于直线I对称的点都在C上
所以易得 k > 0
根据点关于直线对称的公式：
点（a,b）关于Ax+By+C=0对称的坐标为（a-2A(Aa+Bb+C)/(A^2+B^2)),b-2B(Aa+Bb+C)/(A^2+B^2))
可得A B 关于直线 y = kx 的对称点坐标为：
A'((k^2 - 1)/(k^2 + 1) , -2k/(k^2 + 1))
B'(16k/(k^2 + 1) , (8k^2 - 8)/(k^2 + 1))
再假设抛物线方程为：y^2 = 2px
将A' B'两点坐标代入方程可得方程组,
解该方程组即可
解得：
k = (1 + sqrt(5))/2
p = (48 + 16*sqrt(5))/(40 + 24*sqrt(5))
上述的sqrt代表开根号