非齐次二阶微分方程原方程y``-2y`+5y=e^x(cos2x)特解：y*=xe^x(Acos2x+Bsin2x)y*`y*``y*带入原方程求出AB,可是y*`y*``怎么求出来再带入?难道用求导公式一步步求出来再带入?代入结果：4Bcos2x-4Asin2x=

Question

非齐次二阶微分方程
原方程y``-2y`+5y=e^x(cos2x)
特解：y*=xe^x(Acos2x+Bsin2x)
y*` y*`` y*带入原方程 求出AB,
可是 y*` y*`` 怎么求出来 再带入?
难道 用求导公式 一步步求出来再带入?
代入结果：4Bcos2x-4Asin2x = cos2x
请帮忙写出稍微详细一点的

Answer 1

求导过程麻烦些,用函数乘积的求导法则,但是不难.
y=e^x[Axcos2x+Bxsin2x],
y'=e^x[Axcos2x+Bxsin2x]+e^x[Acos2x-2Axsin2x+Bsin2x+2Bxcos2x]=e^x[((A+2B)x+A)cos2x+(B-2A)x+B)sin2x],
y''=e^x[((A+2B)x+A)cos2x+((B-2A)x+B)sin2x]+e^x[(A+2B)cos2x-2((A+2B)x+A)sin2x+(B-2A)sin2x+2((B-2A)x+B)cos2x]=e^x[((4B-3A)x+(2A+4B))cos2x+((-4A-3B)x+(2B-4A))sin2x].
代入微分方程,整理得4Bcos2x-4Asin2x=cos2x.
－－－－－－
有简单的方法：先考虑方程y''-2y'+5y=e^x×e^(2xi)=e^((1+2i)x.λ=1+2i是齐次方程的特征方程的单根,所以特解假设为x×A×e^((1+2i)x.代入方程,求出特解后,求特解的实部即可（因为e^xcos2x是e^((1+2i)x)的实部）.
这儿有个书上的式子可用,对于方程y''+py'+qy=P(x)×e^λx,特解设为Q(x)×e^λx,代入得Q''(x)+(2λ＋p)Q'(x)+(λ^2+pλ+q)Q(X)=P(x).
这里λ=1+2i,λ^2+pλ+q=0,p=-2,Q(x)=Ax.所以,上面的式子化为
0+(2+4i-2)×A=1,所以A=1/(4i)=-1/4×i.
所以特解x×A×e^((1+2i)x=x×(-x/4)i×e^(1+2i)x=x×(-1/4)i×e^x×(cos2x+isin2xi),实部是1/4×x×e^x×sin2x,这就是原非齐次线性方程的一个特解.