在三角形ABC中,角ABC对边分别为abc,且满足（2a－c）cosB＝bcosC

Question

在三角形ABC中,角ABC对边分别为abc,且满足（2a－c）cosB＝bcosC

Answer 1

先证明三角形中的一个等式：b*cosC+c*cosB=a.
由余弦定理：
cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab),cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2ac),所以
bcosC+ccosB
=b*(a^2+b^2-c^2)/(2ab)+c*(a^2+c^2-b^2)/(2ac)
=(a^2+b^2-c^2)/(2a)+(a^2+c^2-b^2)/(2a)
=(2a^2)/(2a)
=a
即有 bcosC+ccosB=a 成立.
由题意：(2a-c)cosB=bcosC,所以 2acosB=ccosB+bcosC=a,从而 cosB=1/2.
由于B是三角形内角,所以有角B=60度.
综上,角B=60度.