三元五次轮换式（a+b+c)^5-(b+c-a)^5-(a+c-b)^5-(a+b-c)^5分解因式,首先由因式定理可以求得因式abc,可是为什么另一个因式必是A（a^2+b^2+c^2)+B(ab+bc+ca),也就是说原式=abc「A（a^2+b^2+c^2)+B(ab+bc+ca)」,请问这

Question

三元五次轮换式
（a+b+c)^5-(b+c-a)^5-(a+c-b)^5-(a+b-c)^5分解因式,首先由因式定理可以求得因式abc,可是为什么另一个因式必是A（a^2+b^2+c^2)+B(ab+bc+ca),也就是说原式=abc「A（a^2+b^2+c^2)+B(ab+bc+ca)」,请问这个是为什么,怎么得到的因式.请解释得清楚一些

Answer 1

呵呵……你的问题很有趣啊.
首先谈一谈题目,由于原式的每一项都为五次,而因式abc已占有三次,所以剩余因式为二次.
对于三元齐次轮换式而言,
如果它是一次的,必定是(a+b+c)的形式；
如果它是二次的,因为是二次的,所以可能有(a^2+b^2+c^2),由于是轮换式,所以a^2、b^2、c^2都含有；同样因为是二次的,所以也有可能含有(ab+bc+ca)的形式,注意我用的是“可能”,所以在(a^2+b^2+c^2)和(ab+bc+ca)两式前都含有系数A和B,其中A和B可能为0,即表示可能不含有(a^2+b^2+c^2)或(ab+bc+ca)的式子.综上：二次因式为A（a^2+b^2+c^2)+B(ab+bc+ca).
提醒一下：
关于轮换式的因式分解,只需按照方法来即可,可以不必熟知其中的原因……考试时不会有的O(∩_∩)O哈!