矩阵A＝[a b 2b a],证明（A,+,乘）是整环

Answer 1

A是由 [a b;2b,a]这种形式的矩阵构成的集合
由线性代数结论可知,2阶方阵对加法满足交换,结合,有零元(即0矩阵),有负元(即负矩阵),对矩阵的乘法满足结合律,乘法对加法满足分配律.所以,只需证明集合A对加法,乘法运算封闭即可.
由于 [a1 b1;2b1,a1] + [a2 b2;2b2,a2] = [ a1+a1 b1+b2; 2(b1+b2) a1+a2]
所以A对加法封闭.
再由
[a1 b1;2b1,a1] [a2 b2;2b2,a2]
= [a1a2+2b1b2 a1b2+b1a2; 2(a1b2+b1a2) a1a2+2b1b2 ]
所以A对乘法封闭.
综上知证明（A,+,乘）是环.下证它是一个整环.只需证A中无零因子.
(反证)
假设 [a1 b1;2b1,a1] ,[a2 b2;2b2,a2] 都不是零矩阵,
但 [a1 b1;2b1,a1] [a2 b2;2b2,a2] = 0.
则 (a1,b1) != 0,(a2,b2) != 0.且由上面乘积的结果知
a1a2+2b1b2 = 0
a1b2+b1a2 = 0
写成矩阵形式即 [a2 2b2; b2 a2] [a1 b1] = 0.
因为 (a1,b1) != 0,所以 齐次线性方程组 [a2 2b2; b2 a2] X = 0 有非零解.
所以 行列式 |[a2 2b2; b2 a2]| = 0,即得 a2^2 - 2 b2^2 = 0.这在实数域中只有零解,即必须有 a2=0,b2=0.这与假设 (a2,b2) != 0 矛盾.
故 A中无零因子.
综上知 （A,+,乘）是整环 .