设矩阵A＝（101030101）,矩阵B＝(KE+A)的平方,且K属于R.1）求对角阵D,使B与D相似.（2）求的值（2）求K的值，使B为正定矩阵

Question

设矩阵A＝（101 030 101 ）,矩阵 B＝(KE+A)的平方,且K属于R.1）求对角阵D,使B与D相似.（2）求 的值
（2）求K的值，使B为正定矩阵

Answer 1

(1).1 0 1 k+1 0 1
A = 0 3 0 ,kE + A = 0 k+3 0 ,
1 0 1 1 0 k+1
特征多项式为：| λE- (kE+A) | = -(k-λ) (2+k-λ) (3+k-λ),所以得kE + A 的特征值 k,k+2,k+3,也就是说：存在矩阵P,使得kE+A = P^(-1) * Diag(k,k+2,k+3) * P (Diag表示对角阵)
于是,B = (kE+A)^2 = P^(-1) * Diag(k,k+2,k+3) * P * P^(-1) * Diag(k,k+2,k+3) * P =
P^(-1) * Diag(k,k+2,k+3) * Diag(k,k+2,k+3) * P = P^(-1) * Diag(k^2,(k+2)^2,(k+3)^2) * P
所以,D = Diag( k^2,(2+k)^2,(3+k)^2 )
(2).
(k+1)^2 + 1 0 2(k+1)
B = 0 (k+3)^2 0
2(k+1) 0 (k+1)^2 + 1
进行初等变换化成对角阵：第3行 减去 第1行* 2(k+1)/( (k+1)^2 + 1) 消去B(3,1),然后再消去B(1,3).
得到了对角阵：C = Diag( (k+1)^2 + 1,(k+3)^2,k^2 * (k+2)^2 / ( (k+1)^2 + 1) )
B和C相合,所以B正定等价于C正定,C正定等价于每个对角元都是正的,所以只要：k ≠ -3,-2,0即可.
望及时采纳!