设n阶矩阵A＝E-a*a^T,其中a是n维非零列向量,证明1.A^2=A的充要条件是a^T*a设n阶矩阵A＝E-a*a^T,其中a是n维非零列向量,证明1.A^2=A的充要条件是a^T*a=12.当a^T*a=1时,A是不可逆矩阵

Question

设n阶矩阵A＝E-a*a^T,其中a是n维非零列向量,证明 1.A^2=A的充要条件是a^T*a
设n阶矩阵A＝E-a*a^T,其中a是n维非零列向量,证明
1.A^2=A的充要条件是a^T*a=1
2.当a^T*a=1时,A是不可逆矩阵

Answer 1

A^2=A

<=> (E-aa^T)^2 = E-aa^T
<=> E - 2aa^T + aa^Taa^T = E-aa^T
<=> -aa^T+(a^Ta)aa^T=0
<=> (a^Ta-1)aa^T=0
<=> a^Ta=1
2.
a^Ta=1 时 A^2=A
假如A可逆,则有 A=E
所以 aa^T=0
与a是非零向量矛盾
所以 A 不可逆