如图,PB切⊙O于B点,直线PO交⊙O于点E,F,过点B作PO的垂线BA,垂足为点D,交⊙O于点A,延长AO交⊙O于点C连结BC,AF．（1）求证：直线PA为⊙O的切线； （2）若BC＝6,AD:FD=1：2,求⊙O的半径的长． 

Question

如图,PB切⊙O于B点,直线PO交⊙O于点E,F,过点B作PO的垂线BA,垂足为点D,交⊙O于点A,延长AO交⊙O于点C
连结BC,AF．
（1）求证：直线PA为⊙O的切线； 
（2）若BC＝6,AD:FD=1：2,求⊙O的半径的长．

 
 


Answer 1

(1)先证明三角形AOD和BOD全等（显而易见的）得到角AOD=角BOD,然后又OA=OB,OP=OP,所以三角形OAP全等三角形OBP,所以角OAP=角OBP=90度（切线的性质）
所以OA垂直于AP,所以PA是圆的切线
(2)设半径是r,BC=6,所以OD=3,FD=r+3,
在三角形AOD中,由勾股定理得AD^2=r^2-OD^2=r^2-9
因为AD:FD=1：2,所以FD=2AD,所以FD平方=4AD平方,带入上面的结果得
(r+3)^2=4(r^2-9),解出r=5,或者r=-3（舍去）
所以圆的半径是5