点P在三角形ABC内AB=CP=2,BC=3角ABC+角APC=兀.则四边形ABCP的面积的最大值为

Question

点P在三角形ABC内AB=CP=2,BC=3 角ABC+角APC=兀.则四边形ABCP的面积的最大值为

Answer 1

∵∠ABC＋∠APC＝π,∴∠ABC＜π/2,否则：∠APC＞∠ABC≧π/2,与题设矛盾.
作∠ACQ＝∠ACP,使P、Q在AC的两侧且CQ＝CP.
∵CQ＝CP、AC＝AC,∴ACQ＝∠ACP,∴△ACQ≌△ACP,∴∠AQC＝∠APC,
∴∠ABC＋∠AQC＝∠ABC＋∠APC＝π,∴A、B、C、Q共圆,而AB＝PC＝QC,∴AQ∥BC.
过A作AD∥QC交BC于D.
∵AQ∥DC、AD∥QC,∴ADCQ是平行四边形,∴S(△ACD)＝S(△ACQ).
∵△ACQ≌△ACP,∴S(△ACP)＝S(△ACQ),∴S(△ACD)＝S(△ACP),
∴S(ABCP)＝S(△ABC)－S(△ACP)＝S(△ABC)－S(△ACD)＝S(△ABD).
过A作AH⊥BD交BD于H.
∵ADCQ是平行四边形,∴AD＝QC,又AB＝PC＝QC,∴AB＝AD,而AH⊥BD,∴BD＝2BH.
由勾股定理,有：AH＝√（AB^2－BH^2）＝√（4－BH^2）.
∴S(ABCP)＝S(△ABD)＝（1/2）BD×AH＝BH√（4－BH^2）＝√（4BH^2－BH^4）.
显然有：4BH^2－BH^4＝4－（4－4BH^2＋BH^4）＝4－（2－BH^2）^2≦4.
∴S(ABCP)＝√（4BH^2－BH^4）≦√4＝2.
∴四边形ABCP面积的最大值为2.