△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a^2-(b-c)^2=(2-√3)bc,和sinAsianB=cos^2(C/2),BC边上中线AM的长为√7（1）求角A和角B的大小（2）求△ABC的面积

Question

△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a^2-(b-c)^2=(2-√3)bc,
和sinAsianB=cos^2(C/2),BC边上中线AM的长为√7
（1）求角A和角B的大小
（2）求△ABC的面积

Answer 1

【参考答案】
(1)
sinAsinB=cos²(C/2)
sinAsinB=(1+cosC)/2
2sinAsinB=1-cos(A+B)
2sinAsinB=1-cosAcosB+sinAsinB
cosAcosB+sinAsinB=1
cos(A-B)=1
∴A-B=0,即A=B
∴a=b
将a=b带入a²-(b-c)²=(2-√3)bc得
a²-(a-c)²=(2-√3)ac
√3ac-c²=0
(√3a-c)c=0
∴c=√3a
∴cosA=(b²+c²-a²)/(2bc)=(a²+3a²-a²)/(2√3a²)=√3/2
∴A=B=π/6
(2)在△ABM中,根据余弦定理：
cos30°=[(a/2)²+(√3a)²-(√7)²]/[2×(a/2)×(√3a)=√3/2
解得 a=2
∴S△ABC=(1/2)×2×2√3×sin30°=√3
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