（2012•崇明县一模）已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=CB，CD⊥AB于D点，∠BAC的角平分线交BC于，点E，交线段BD于点F．（1）求证：AC•AF=AE•AD；（2）试判断线段DF与BE有怎样的数量关系？

Question

（2012•崇明县一模）已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=CB，CD⊥AB于D点，∠BAC的角平分线交BC于，点E，交线段BD于点F．
（1）求证：AC•AF=AE•AD；
（2）试判断线段DF与BE有怎样的数量关系？请证明你的结论；
（3）若令线段DF的长为x，△BEF的面积为y，求y关于x的函数关系式．

Answer 1

（1）证明：∵AE平分∠CAB，
∴∠CAE=∠FAD，
而CD⊥AB，
∴∠FDA=90°，
∴Rt△ACE∽Rt△ADF，
∴AC：AD=AE：AF，
∴AC•AF=AE•AD；

（2）线段DF=(1)/(2)BE．理由如下：
过E作EM⊥AB于M点，如图，
∴EM=EC，
∴Rt△AME≌Rt△ACE，
∴AM=AC
∵FD∥EM，
∴(FD)/(EM)=(AD)/(AM)，
∵∠ACB=90°，CA=CB，
∴△CAB为等腰直角三角形，
∴AM=AC=BC=√(2)AD，EM=(√(2))/(2)BE，
∴FD=(√(2))/(2)BE•(√(2))/(2)=(1)/(2)BE；

（3）过F作FG⊥BC于点G，如图，
∵CD和AE为△ABC的角平分线，
∴BF平分∠ABC，
∴FG=FD=x，
∴y=(1)/(2)FG•BE=(1)/(2)x•2x=x²．