设f(x)对任意X1,X2都满足f(x1+x2)=f(x1)+f(x2),且f(x)在x=0处连续,证明函数f（x）在R上连续

Question

设f(x)对任意X1,X2都满足f(x1+x2)=f(x1)+f(x2),且f(x)在x=0处连续,证明函数f（x）在R上连续

Answer 1

由f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)
得f(x1+x2)-f(x1)=f(x2),两边同时除以x2,（这里利用导数的定义,把x1看成x,把x2看成x的小增量）得：
[f(x1+x2)-f(x1)]/x2=f(x2)/x2.两边同时取极限lim(x2->0).
左边类似f(x)的导数,右边是lim[f(x2)/x2] x2->0.再把x2看成自变量x.因为f(x)在x=0处连续,所以x->0+和0-时,函数f(x)的左右极限存在.即lim[f(x2)/x2] x2->0存在.进而f(x)在R上的导数存在.
从而,函数f（x）在R上连续.