设函数f（x）对任意实数x,y都有f（x+y）=f（x）+f（y）且x＞0时f（x）＞0.1,证明f（x）是奇函数2,证明f（x）在（-∞,+∞）内是增函数,3,若f（2x）＞f（x+3),试求x的取值范围.

Question

设函数f（x）对任意实数x,y都有f（x+y）=f（x）+f（y）且x＞0时f（x）＞0.
1,证明f（x）是奇函数
2,证明f（x）在（-∞,+∞）内是增函数,
3,若f（2x）＞f（x+3),试求x的取值范围.

Answer 1

f(x+y) = f(x) + f(y)
令 x=y=0
f(0) = f(0) + f(0)
=> f(0) =0
令 y=-x
f(0)= f(x) + f(-x)
f(x) = -f(x)
=>f(x)是奇函数
(2)
y> x
y = x+c ( 显然 c>0)
f(y) = f(x+c)
= f(x) + f(c)
> f(x) ( 因为x＞0时f（x）＞0.所以f(c) > 0 )
f(x)是增函数
3）
f（2x）＞f（x+3)
f(x)是增函数
所以
2x>x+3
∴x>3