(2010•南通模拟)设fn(x)=12+rcosx+r2cos2x+r3cos4x+…+rn-1cos2n-2x(n≥2).(1)证明:对任意x∈R,当|r|≤12时,rcosx+r2cos2x≥-38;(2)证明:当|r|≤12,f2n+1(x)对任意x∈R和自然数n(n≥2)都有f2n+1
(2010•南通模拟)设
fn(x)=+rcosx+r2cos2x+r3cos4x+…+rn-1cos2n-2x(n≥2).
(1)证明:对任意x∈R,当|r|≤时,rcosx+r2cos2x≥-;
(2)证明:当|r|≤,f2n+1(x)对任意x∈R和自然数n(n≥2)都有f2n+1(x)>0.
答案和解析
(1)1°当r=0时,显然
0≥-
2°当r≠0时,设φ(x)=rcosx+r2cos2x=r2(2cos2x-1)+rcosx
=2r2(cosx+)2--r2≥--r2≥--()2=-.(|r|≤)
(2)当|r|≤时,∀x∈R,∀n∈N*(n≥2),f2n+1=+rcosx+r2cos2x+r3cos4x+r4cos8x++r2n-1cos22(n-1)x+r2ncos22n-1x
=+φ(x)+r2φ(4x)++r2(n-1)•φ(4n-1x)≥-(1+r2++r2(n-1))≥-(1+++)
=-•==>0.
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