设映射f:X→Y,A包含于X,B包含于X.证明：f(A∩B)包含于f（A)∩f(B).我的证明是这样的,取任意y∈f(A∩B),存在x∈A∩B,使y=f（x）x∈A且x∈B,则有y∈f（A）且y∈f（B）即y∈f（A）∩f（B）所以f（A∩B）

Question

设映射f:X→Y,A包含于X,B包含于X.证明：f(A∩B)包含于f（A)∩f(B).
我的证明是这样的,
取任意y∈f(A∩B),存在x∈A∩B,使y=f（x）
x∈A且x∈B,则有y∈f（A）且y∈f（B）即y∈f（A）∩f（B）
所以f（A∩B）包含于f（A）∩f（B）
根据题设，还能证明f（A)∩f(B)包含于f(A∩B)吗？

Answer 1

1.任取y∈f(A∪B),则存在x属于A∪B,使得y=f(x).
则x∈A或者x∈B,所以,y=f(x)∈f(A)或者y=f(x)∈f(B).
所以y∈f(A)∪f(B).所以f(A∪B)包含于f(A)∪f(B)
任取y∈f(A)∪f(B),则y属于f(A)或者f(B)所以存在x∈A或者B使得f(x)=y.
即x∈A∪B.所以y∈f(A∪B).所以f(A)∪f(B)包含于f(A∪B)
所以f(A∪B)=f(A)∪f(B);
2.任取y∈f(A∩B),则存在x∈A∩B,使得y=f(x).
则x∈A且x∈B,所以y=f(x)∈f(A)且y=f(x)∈f(B).
所以y∈f(A)∩f(B)
所以f(A∩B)包含于f(A)∩f(B)
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