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已知f(0)=0,f(1)=1,f'(0)=f'(1)=0,求证|f''(x)|>4|f''(x)|>4,x属于(0,1),f(x)在[0,1]上连续且二阶可导存在|f''(x)|>4,x属于(0,1)题目还有个hint:considerh(x)=f(x)-2x^2ontheinterval[0,0.5],andthenrepeattheargumentwithg(x
题目详情
已知f(0)=0, f(1)=1,f'(0)=f'(1)=0,求证|f''(x)|>4
|f''(x)|>4, x属于(0,1),f(x)在[0,1]上连续且二阶可导
存在|f''(x)|>4, x属于(0,1)
题目还有个hint:consider h(x)=f(x)-2x^2 on the interval [0,0.5], and then repeat the argument with g(x)=1-f(1-x) in place of f(x)
|f''(x)|>4, x属于(0,1),f(x)在[0,1]上连续且二阶可导
存在|f''(x)|>4, x属于(0,1)
题目还有个hint:consider h(x)=f(x)-2x^2 on the interval [0,0.5], and then repeat the argument with g(x)=1-f(1-x) in place of f(x)
▼优质解答
答案和解析
泰勒公式
f﹙x﹚ 展开 f﹙x﹚=f﹙0﹚+f'﹙0﹚x+﹙1/2﹚f''﹙ζ﹚x²
f﹙x﹚=f﹙1﹚+f'﹙1﹚x+﹙1/2﹚f''﹙η﹚﹙x-1﹚²
相减 并以1/2代入x
得 1=﹙1/8﹚|[f''﹙ζ﹚-f''﹙η﹚]|≤﹙1/8﹚﹛|f''﹙ζ﹚|+|f''﹙η﹚|﹜ | f''﹙ζ﹚|和|f''﹙η﹚|中较大一个一定大于4
而 ζ和η都属于﹙0,1﹚ 命题得证
f﹙x﹚ 展开 f﹙x﹚=f﹙0﹚+f'﹙0﹚x+﹙1/2﹚f''﹙ζ﹚x²
f﹙x﹚=f﹙1﹚+f'﹙1﹚x+﹙1/2﹚f''﹙η﹚﹙x-1﹚²
相减 并以1/2代入x
得 1=﹙1/8﹚|[f''﹙ζ﹚-f''﹙η﹚]|≤﹙1/8﹚﹛|f''﹙ζ﹚|+|f''﹙η﹚|﹜ | f''﹙ζ﹚|和|f''﹙η﹚|中较大一个一定大于4
而 ζ和η都属于﹙0,1﹚ 命题得证
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