已知函数f（x）=3x^2-2mx-1,g(x)=|x|-7/4已知函数f（x）=3x^2-2mx-1,g(x)=|x|-7/4（1）求证：一定存在x0∈（-1,2）,使f（x0）≥0；（2）若对任意的x∈（-1,2）,f（x）≥g（x）,求m的取值范围；（3）h（x）为

Question

已知函数f（x）=3x^2-2mx-1,g(x)=|x|-7/4 已知函数f（x）=3x^2-2mx-1,g(x)=|x|-7/4
（1）求证：一定存在x0∈（-1,2）,使f（x0）≥0；
（2）若对任意的x∈（-1,2）,f（x）≥g（x）,求m的取值范围；
（3）h（x）为奇函数,当x≥0时,h（x）=f（x）+2mx+1,若3h（x）≤2h（x+sinα）对α∈R恒成立,求x的取值范围.希望有较为详细,有一定准确率的解答,
可以的话,说一下任意与存在的区别!

Answer 1

（1）本题对m进行分类
1.m = 0 ,f（x）= 3x² - 1,取x0 = 1,f（x0）= 2 > 0
2.m > 0.5 或 -0.25 < m < 0,取x0 = -1/（2m）,f（x0）= 3x0² > 0
3.0 < m ≤ 0.5,则 -2m ≥ -1,f（x）≥ 3x² - x -1,取x0 = 1,f（x0）= 1 > 0
4.m ≤ -0.25,则 -2m ≥ 0.5,f（x）≥ 3x² +0.5x -1,取x0 = 1,f（x0）= 2.5 > 0
综上所述,无论m取何值时,都存在x0∈（-1,2）,使f（x0）≥0
（2）
构造h（x）= f（x）-g（x）,要使f（x）≥g（x）,即h（x）≥ 0
h（x）= 3x^2 - 2mx - 1 - |x| + 7/4 = 3x^2 - 2mx + 3/4 - |x|,
当-1 < x < 0,h（x）= 3x^2 - （2m - 1）x + 3/4
由图象可知,h（x）≥ 0（-1 < x < 0）必须满足如下条件
（2m - 1）/ 6 ≤ -1,h（-1）≥0（方程组无解）
或者 （2m - 1）/ 6 > 0,h（0）≥ 0（方程组的解为m ≥ 0.5）
或者 -1 < （2m - 1）/ 6 < 0,h（（2m - 1）/ 6）≥ 0（方程组的解为-1 ≤ m < 2）
综上所述,为m ≥ -1 ①
h（x）≥ 0（0 ≤ x < 2）必须满足如下条件
（2m - 1）/ 6 ≤ 0,h（0）≥0（方程组的解为m ≤ -0.5）
或者 （2m - 1）/ 6 > 2,h（2）≥ 0（方程组无解）
或者 0 < （2m - 1）/ 6 < 2,h（（2m - 1）/ 6）≥ 0（方程组的解为-2 ≤ m ≤1）
综上所述,为m ≤ 1 ②
综合①②得,-1 ≤ m < 1
（3）
第（3）题可以这样
取α = 0,则3h（x）≤ 2h（x + 0）也要成立,故在x > 0上不成立
在x ≤ 0上的解析式为h（x）= -3x²,要使3h（x）≤2h（x+sinα）对α∈R恒成立,即
3h（x）≤ 2h（x - 1）成立（因为h（x）在x ≤ 0上单调递增）
解得x的取值范围为x ≤ -2 - √6