若三角形ABC的三边a,b,c满足a+b=10,(a+b+c)(a+b-c)=3ab,则三角形ABC的周长最小为

Question

若三角形ABC的三边a,b,c满足a+b=10,(a+b+c)(a+b-c)=3ab,则三角形ABC的周长最小为

Answer 1

a+b+c)(a+b-c)=3ab,
(10+c)(10-c)=3ab
100-c^2=3ab
即ab=(100-c^2)/3
a+b=10
当a=b=5时,代入c=5,a+b+c=15
当a,b不相等时:
那么a,b是方程x^2-10x+(100-c^2)/3=0的二个不等根.
判别式=100-4(100-c^2)/3>0
75-(100-c^2)>0
c^2>25
c>5
那么a+b+c>15
综上所述,当a=b=c=5时,周长最小是15.