在△ABC的三个内角A,B,C对角为a,b,c,满足a-b=4,a+c=2b,最大角为120°，求三边及B的余弦值？

Question

在△ABC的三个内角A,B,C对角为a,b,c,满足a-b=4,a+c=2b,最大角为120°，求三边及B的余弦值？

Answer 1

(1)1.a＋c＝2b sinA+sinC=2sinB A明显为120渡 sin120+sin(60-B)=2sinB 求出sinB，然后求出sinC，也就知道了三边的比例，再利用a－b＝4，可以求出三边长 2.由已知条件有：a = b+4，c = b-4 因此，a是最长边，即A是最大角，∠A = 120度由余弦定理有： a^2 = b^2 + c^2 - 2bc*cosA = b^2 + c^2 - 2bc*cos120度 = b^2 + c^2 + bc ==> (b+4)^2 = b^2 + (b-4)^2 + b*(b-4) ==> b=10 ==> a = 14，c = 6 3.∵ a－b=4，a=b＋4， ∴ a＞b． a＋c=2b，有b＋4＋c=2b． ∴ b=c＋4＞c， ∴ a＞b＞c． 由余弦定理，得 2a2－36a＋112=0， a2－18a＋56=0． ∴ a=14(a=4舍去)． (2)a-b=4 a=b+4 a>b a+c=2b b+4+c=2b c=b-4 b>c 所以a>b>c A=120度 余弦定理 cos120=(b²+c²-a²)/(2bc) -1/2=[(b²+(b-4)²-(b+4)²]/[2b(b-4)] 化简 b-16=4-b 2b=20 b=10 注意：b不为0直接消掉 a=14，c=6 正弦定理 a/sinA=b/sinB 14/sin120=10/sinB sinB=5√3/14 cosB=11/14 sin²B+cos²B=1 或者用余弦定理 cosB=(14²+6²-10²)/(2*14*6)=11/14