已知函数f（x）=lnx-(x-1)22（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）证明：当x>1时，f（x）<x-1（Ⅲ）确定实数k的所有可能取值，使得存在x0>1，当x∈（1，x0）时，恒有f（x）>k（x-1

Question

已知函数f（x）=lnx-((x-1)2)/(2)
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）证明：当x>1时，f（x）<x-1
（Ⅲ）确定实数k的所有可能取值，使得存在x₀>1，当x∈（1，x₀）时，恒有f（x）>k（x-1）

Answer 1

（I）f′（x）=(1)/(x)-x+1=(-x2+x+1)/(x)，x∈（0，∞），
由 f′（x）>0得：

x>0

-x2+x+1>0

，
解得0<x<(1+√(5))/(2)，
故f（x） 的单调递增区间（0，(1+√(5))/(2)）；
（II）令F（x）=f（x）-（x-1），x∈（0，+∞），
则有F′（x）=(1-x2)/(x)，
当 x∈（1，+∞）时，F′（x）<0，所以F′（x）在[1，+∞） 上单调递减，
故当x>1 时，F′（x）<F（x）<，即当x>1 时，f（x）<x-1；
（III）由（II）知，当k=1 时，不存在x₀>1 满足题意，
当k>1 时，对于x>1，有f（x）<x-1<k（x-1），
则f（x）<k（x-1），从而不存在xx₀>1 满足题意，
当k<1 时，令G（x）=f（x）-k（x-1），x∈（0，∞），
则有G′（x）=(1)/(x)-x-k=(-k2+(1-k)x+1)/(x)，
由G′（x）=0 得：-x²+（1-k）x+1=0，
得x₁=(1-k-√((1-k)2+4))/(2)<0，x₂=(1-k+√((1+k)2+4))/(2)>1，
当x∈（1，x₂） 时，G′（x）>0，故G（x） 在[1，x ₂）内单调递增，
从而当x∈（1，x₂） 时，G（x）>G（1）=0，即f（x）>k（x-1），
综上，k的取值范围是（-∞，1）．