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直线L过点M（1,1）,与椭圆x`2+4y`2=16交与P,Q两点,已知线段PQ的中点横坐标为为1/2,求直线的方程.
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直线L过点M（1,1）,与椭圆x`2+4y`2=16交与P,Q两点,已知线段PQ的中点横坐标为为1/2,求直线的方程.
▼优质解答
答案和解析
设L:y=K(x-1)+1,
代入x`2+4y`2=16,整理得
(1+4k^2)x^2+8k(1-k)x+4(1-k)^2-16=0,
设P(x1,y1),Q(x2,y2),则
x1+x2=8k(k-1)/(1+4k^2),
∴PQ的中点横坐标4k(k-1)/(1+4k^2)=1/2,
∴8k^2-8k=1+4k^2,4k^2-8k-1=0,
k=1土(√5)/2,
∴L的方程是y=[1+(√5）/2]x-(√5)/2,或y=[1-(√5）/2]x+(√5)/2.
代入x`2+4y`2=16,整理得
(1+4k^2)x^2+8k(1-k)x+4(1-k)^2-16=0,
设P(x1,y1),Q(x2,y2),则
x1+x2=8k(k-1)/(1+4k^2),
∴PQ的中点横坐标4k(k-1)/(1+4k^2)=1/2,
∴8k^2-8k=1+4k^2,4k^2-8k-1=0,
k=1土(√5)/2,
∴L的方程是y=[1+(√5）/2]x-(√5)/2,或y=[1-(√5）/2]x+(√5)/2.
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