设直线l与椭圆x216+y28=1相交于A，B两点，与圆（x-1）2+y2=r2（r>0）相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（）A.（1，6）B.（2，7）C.（2，6）D.（1，

Question

设直线l与椭圆

(x2)/(16)+(y2)/(8)=1相交于A，B两点，与圆（x-1）²+y²=r²（r>0）相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（　　）

A. （1，

√(6)）

B. （2，

√(7)）

C. （2，

√(6)）

D. （1，

√(7)）

Answer 1

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₀，y₀），
代入椭圆方程相减，整理得（y₁+y₂）（y₁-y₂）=4（x₁-x₂），
当l的斜率存在时，利用点差法可得2ky₀=-x₀，
因为直线与圆相切，所以(y0)/(x0-1)=-(1)/(k)，所以x₀=2，
即M的轨迹是直线x=2．
将x=2代入椭圆方程，得y²=6，
∴-√(6)<y₀<√(6)，
∵M在圆上，
∴（x₀-1）²+y₀²=r²，
∴r²=y₀²+1≤7，
∵直线l恰有4条，
∴y₀≠0，
∴1<r²<7，
故1<r<√(7)时，直线l有2条；
斜率不存在时，直线l有2条；
所以直线l恰有4条，1<r<√(7)，
故选D．