已知椭圆C：x²/a²+y²/b²=1,的离心率为根号六/3,短轴的一个端点到右焦点距离为根号31.求椭圆方程 2.设倾斜角为30°的直线L与椭圆C交于A B两点.坐标原点O到直线L的距离为根号3/2,求A

Question

已知椭圆C：x²/a²+y²/b²=1,的离心率为根号六/3,短轴的一个端点到右焦点距离为根号3
1.求椭圆方程 2.设倾斜角为30°的直线L与椭圆C交于A B两点.坐标原点O到直线L的距离为根号3/2,求AB长

Answer 1

已知椭圆C：x²/a²+y²/b²=1,的离心率为根号六/3,e=c/a=根号六/3
短轴的一个端点到右焦点距离为根号3 a=根号3
所以c=根号2
b^2=a^2-c^2=1
1.椭圆方程 x^2/3+y^2=1
2.设直线方程为y=根号3/3x+b
坐标原点O到直线L的距离为
d=|b|/根号(1+1/3)
坐标原点O到直线L的距离为根号3/2
根号3/2=|b|/根号(1+1/3)
b=1或 b=-1
联立
x^2+3y^2=3
y=根号3/3x+1
x^2+3(1/3x^2+2根号3/3x+1)=3
2x^2+2根号3x=0
x1=0或x2=-根号3
y1=1或y2=0
|AB|=根号(3+1)=2